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戴森：鸟与蛙

弗里曼·戴森（Freeman Dyson）是英国物理学家与数学家，任普林斯顿高等研究院教授凡四十余年，是未取得博士学位却享有隆崇学术地位的特例。戴森兴趣极广，思想广阔，超前时代，是典型的文艺复兴人。科普著作极丰。
本文系作者为美国数学学会（AMS）2008 年爱因斯坦讲座所准备之讲稿，后因演讲取消而未宣读。

有些数学家是飞鸟，其他的是蛙。鸟儿高翔天际，遍览直至天际的广阔数学远景，他们所喜爱的，是能统摄我们的思想、将散布于地上各处的种种问题整合起来的概念。青蛙住在泥地里，只能看到长在附近的花朵。他们喜爱特定事物的细节，一次只解决一个问题。我刚好是一只蛙，但是我的许多好友都是飞鸟。我今晚演讲的主题是这样的：数学需要鸟，也需要蛙。数学既丰富而且优美；因为有飞鸟赋予它宽阔的远景，有蛙儿赋予它精致的细节。数学既是伟大的艺术，也是重要的科学；因为它结合了概念的普遍性和结构的深刻性。倘若有人宣称鸟儿因为看得更辽远而胜过蛙，或是青蛙因为观察更深刻而胜过鸟，两种说法都是愚蠢的。数学的世界既广阔又深刻，我们需要鸟与蛙齐心协力才能探索。

这场演讲称为爱因斯坦讲座（Einstein Lecture）。我很高兴美国数学学会邀我来向爱因斯坦致敬。爱因斯坦不是数学家，而是一位对数学有着爱憎情结的物理学家。他一方面对数学描述大自然运作的能力，有着无比的敬意。他对数学之美有着敏锐的直觉，所以才能循着正确的途径找到自然定律。另一方面，他对纯数学没兴趣，也没有成为数学家的技术能力。他晚年时，以研究助理的名义聘用年轻同事来帮他做数学计算。他的思考方式是物理的，而非数学的。他在物理学家之中，是无比犀利、看得最远的飞鸟。因为我没有什么新意可阐发，关于爱因斯坦我就说到这里。

培根与笛卡儿
十七世纪初有两位伟大的哲学家，英国的培根（Francis Bacon）和法国的笛卡儿（René Descartes），宣告了现代科学的诞生。笛卡儿是鸟，而培根则是蛙。两人分别描述各自所看到的未来，而他们所看到的非常不同。培根说：“一切取决于目光紧盯住大自然的事实。” 笛卡儿则说：“我思，故我在。”根据培根的观点，科学家应该游历各地，搜集事实，直到所积累的事实足以彰显大自然如何运作，然后科学家再从事实中归纳出大自然所遵循的定律。根据笛卡儿的观点，科学家应该待在家里，纯由思考推导出自然律。要正确地推导定律，科学家只需要逻辑法则，并且确知上帝存在即可。自培根、笛卡儿以来四百年，科学同时循着这两条道路奋进。单凭培根的经验主义或笛卡儿的教条主义（dogmatism），都无法阐明大自然的奥祕，然而一旦两者合并，则有惊人的成效。四百年来，英国科学家倾向于培根，法国科学家则倾向于笛卡儿。法拉第、达尔文和卢瑟福（Ernest Rutherford）是培根主义者，帕斯卡（Blaise Pascal）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）和庞加莱（Henri Poincaré）是笛卡儿主义者。这两种对比明显的文化彼此相互浇灌，大大丰盈了科学本身。两种文化也始终并存于两国。牛顿本质上是笛卡儿主义者，他按笛卡儿的想法使用纯粹思考，却摧毁了笛卡儿的涡流说教条。居里夫人（Marie Curie）本质上是培根主义者，她烧融了数以吨计的原铀矿，结果摧毁了原子不灭的教条。

二十世纪数学史上有两桩决定性的事件，其中之一属于培根主义传统，另一桩属于笛卡儿主义传统。第一个事件是 1900 年在巴黎举办的世界数学家大会（ICM），希尔伯特（David Hilbert）在该次大会的全会演讲中，提出了他著名的 23 个未解问题，指引出数学在新世纪的发展途径。希尔伯特本人像是鸟儿，高高飞翔在整个数学领域的上空，但他提出问题的对象是青蛙型的数学家，让他们一次解决一个问题。第二个决定性事件是 1930 年代在法国由一群飞鸟型数学家组成的布巴基社群（Bourbaki group）。他们致力于出版一系列的教科书，以期建立起统合所有数学的架构。希尔伯特问题非常成功地指引数学研究走向丰硕的发展方向。其中有些问题已解决，有些仍然未解，但几乎每一个问题都激发出数学的新理念和新领域。布巴基计划同样也是影响深远。它改变了其后五十年的数学风格，赋予数学先前不曾存在的逻辑一贯性，把强调的重点从具体实例转移到抽象一般性。在布巴基擘画的架构下，数学就是写在布巴基教科书里的抽象结构，不在书里的就不是数学。具体实例既然没出现在书里，所以不是数学。布巴基纲领是笛卡儿风格的极致表现。它摒弃了培根主义旅人沿途采集的花朵，从而窄化了数学的视域。
大自然的玩笑
以我这样的培根主义者来看，布巴基纲领遗漏的东西最主要的是惊奇的要素。布巴基纲领试图让数学的一切合乎逻辑，但当我观察数学史之时，我看到的是一连串不合逻辑的跳跃、不可能的巧合，还有大自然的玩笑。大自然所开的最深刻的玩笑里，一个例子是薛定谔（Erwin Schrödinger）在 1926 年发明波动力学时，在他的波方程里加入的 -1 的平方根。薛定谔是飞鸟型的学者，他的出发点在于把力学与光学统一起来。在他之前一百年，汉米尔顿（William Hamilton）藉由使用相同的数学来描述光线和古典粒子的路径，已经将古典力学和几何光学统一起来了。薛定谔的想法是把这个统一架构推广到波动光学和波动力学。当时已经有波动光学了，但是波动力学还不存在，薛定谔必须发明波动力学，才能完成这项统一事业。一开始，他以波动光学为蓝本，写下力学粒子的微分方程，但是这方程完全不合理——他的式子像是在连续介质中的热传导方程。从热传导看不出和粒子的力学有任何关联。薛定谔的想法似乎掉进了死胡同。然后，惊喜就来了。薛定谔把 -1 的平方根放进式子里，突然之间一切都合理了。突然之间，式子变成了波方程，而不是热传导方程。而且薛定谔很高兴地发现，方程的解对应到波尔（Bohr）原子模型的量子化轨道。

结果，薛定谔方程正确描述了我们已知的原子的一切行为，它是所有化学和大部分物理学的基础。式子中的 -1 的平方根意味着大自然是以复数、而非实数来运作。此一发现完全出乎薛定谔的意料，也出乎众人的意料。据薛定谔说，他十四岁的女性朋友容格尔（Itha Junger）当时对他说：“嘿，一开始时连你也没想到，它会得出那么多合理的东西吧！”整个十九世纪，从阿贝尔（Niels Abel）到黎曼（Georg Riemann）、魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等数学家已经发展出非常精采的复变函数论。他们发现当把函数论从实数扩展到复数时，理论变得远远更深刻，威力也更大。但他们始终把复数看成是人为建构的，是由数学家发明出来，作为现实世界的一种有用且优雅的抽象。他们绝不会想到，这个人为发明的数系其实正是原子运动的基础。他们绝对料想不到，大自然早在他们之前就运用虚数了。

……

以上介绍的是费里曼·戴森演讲：鸟与青蛙第1部分。今天是2020年5月1日，我是主播欧锋，我现在湖南省株洲市攸县为你介绍和朗读，谢谢你的聆听！

鸟与青蛙

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