正态分布

今次我地讲一下关于数学方面嘅话题。

我地都知道，数学家解决问题的方式往往比较抽象。会通过好多数学定义、数学模型之类嘅野，将现实世界同埋数学世界打通。

就好似“概率”哩个概念，佢嘅数学定义系：事件发生的机会可以用一个数黎表示。

而今次我地主要介绍嘅，系一个概率分布模型！

关于概率分布模型有十几个，咁最重要嘅会系边个呢？

你去问任何一个概率论课嘅老师，得到的答案只有一个——

大家请记住哩个名----正态分布。

正态分布，我觉得系数学家送给世人最有用的礼物。

要讲正态分布，我地需要从天文学史上的一桩公案讲起：

1801年初，一个神秘的天体出现在天文学家的视野当中，几个星期之后又神秘消失。它是什么？又去了哪儿？没人知道。

正在所有人都束手无策个阵，“数学王子”高斯站了出来，他用一支笔计算出了这个天体的运行轨道。果然，在高斯指定的位置，大家又重新发现了它。这就是人类发现的第一颗矮行星——谷神星。

咁高斯是怎么知道这颗天体的运行轨道的呢？

因为他在计算的过程中使用了正态分布。你地话，系唔系好犀利咧？

而且从此以后，正态分布一炮而红，推动数学、统计学、物理学、工程学等众多领域的发展。

“正态分布”这个词，听上去挺复杂的，但它的英文表达就简单得多，叫normal distribution，直接翻译过来就是“正常的分布”“一般的分布”。

其它分布都是特殊的，例如仲有T分布、F分布等等，佢地都是直接由正态分布推导出来。而只有正态分布是一般的、正常的。从名字上，我们知道正态分布系一系列嘅根基，亦能感受到它的重要性。

作为数学史上数一数二的人物，高斯的伟大发现不计其数。甚至有人说，在高斯所在嘅时代，几乎所有伟大的数学成就都是高斯最先发现。所以，高斯并不觉得自己发现正态分布系好巴闭嘅事。而佢自己都讲过，如果以后逝世，墓志铭上，要刻佢生平嘅得意之作：正十七边形，完全没有提正态分布的事。

但后人不这么认为，德国为了纪念高斯，就在10马克的钞票上印上了高斯的头像，而在头像旁边的，就是正态分布嘅钟型曲线。

正态分布虽然地位好高，不过佢特别简单。

说起正态分布嘅曲线，各位肯定都见到过——佢系一条对称嘅曲线，中间很高，两边下降，就像一座山。

点开文稿，你地可以睇到一副简单嘅正态分布图。

咁这副图究竟是什么意思呢？

在正态分布的曲线图里：

横坐标x代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大。

纵坐标y，则代表概率的大小，底部嘅概率是0，越往上概率越大。

只要我地从曲线上随便找一点，确定它的横坐标、纵坐标，我们就知道了这个值出现的概率是多少。

因为这条曲线是左右对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多；而两边分别下降，就意味着越靠近平均值，数据越多；越远离平均值，数据就越少。

当然，我们不能停留在这种粗糙的描述上，要理解正态分布，必须了解它的三个数学性质。

性质一：均值就是期望。

正态分布曲线中间最高点的横坐标，不仅代表随机变量的平均值，而且还等于它的数学期望。这是经过数学证明的，你不用太纠结。在概率论中，正态分布的均值和期望就是一个意思，是一件事儿的两种表达。

换句话讲就系，在正态分布中，平均值就代表随机事件的价值。

为什么我们会用高考的平均成绩，衡量一所高中的教学质量？为什么我们会用平均收益率，衡量一家公司的好坏？原因很简单，高考成绩和公司的收益，是服从正态分布的。而在正态分布中，平均值就代表这个随机事件的价值。

但提醒你一下，在正态分布里，平均值才具有这样的意义。如果不是正态分布，均值可能就没啥意义了。比如说地震，谁也没听说过平均强度和平均损失这样的说法吧？

性质二：极端值比较少。

还记得正态分布的图吗？越靠近平均值，这条曲线越高，出现的概率越大；越远离平均值，这条曲线就越低，出现的概率就越小。

这就说明：正态分布的大多数数据都集中在平均值附近，极端值很少。

“极端值很少”这句话，有两层含义：一是极端值出现的概率很低，二是极端值对均值的影响很小。也因此，正态分布是非常稳定的。拿人的身高来说吧，它大体服从正态分布，所以即使姚明加入我们课程，我们的平均身高也不会有太大变化。

当然，如果不服从正态分布，均值往往就很不稳定。

性质三：标准差决定胖瘦。

有时候我地会发现，同样是正态分布图，有的曲线要矮胖一些，有的要高瘦一点，这是为什么呢？

其实就是因为标准差不同。我地高中都学过，标准差就是方差的平方根，可以用来描述随机变量的波动情况。

在正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线就越矮越胖；标准差越小，数据越集中，曲线就又高又瘦。

为什么刚才说正态分布简单？就是因为在正态分布中，平均值等于期望，决定这条曲线的最高点；方差决定胖瘦，决定曲线的弯曲度。简单两个数据，就确定了这条曲线的形状。你说简单不简单？

讲左咁多概念性嘅野，我地就讲一D日常生活当中，正态分布嘅应用。

当你打开电脑时，某产品会告诉你，“你的开机时间13秒，打败了全国97%的用户”。

“13秒”你可能没概念，但“打败左全国97%的用户”你马上就知道快还是慢。

不过你有没有想过，这个97%是怎么来呢？

是要把全国每台电脑的开机时间都收集起来，这太复杂了。其实他们只是构建了一个正态分布的模型而已。

我们知道，大部分电脑的开机速度都差不多，只有小部分快一点或慢一点，可以认为它服从正态分布。而刚才说了，正态分布很简单，只要均值和标准差两个数据就能完全确定。

所以，只要随机抽取一部分用户的开机数据，

计算出均值和标准差，就可以确定一条正态分布曲线。

而在正态分布中，一个标准差覆盖68.26%的数据，两个标准差覆盖95.44%的数据……都是一一对应、完全确定的。

有了这层关系，当你嘅电脑开机个阵，它只需要比较你的开机时间和均值的差距，就可以知道你距离均值有多少个标准差，也就知道你的排名了。

正态分布，为我们提供了一个估算个体在整体中处于乜水平的便捷方法。像智商、身高、考试成绩，只要服从正态分布，我们都可以通过哩个方法，快速得到答案。

一个正态分布可以分析，咁唔同的正态分布曲线可唔可以比较呢？

也能的。

第一种情况，只有均值不同的话，能比较好坏。

比如两条生产线制造的产品，标准差一致，怎么比较呢？当然是平均合格率越高，品控做得越好。前面说了，正态分布里均值等于期望，就代表长期价值。

第二种情况，只有标准差不同，能比较波动。

最典型的就是男女智商了。两条曲线在均值上相似，但是男性的智商曲线要矮胖一些，女性的高瘦一点。换句话说，均值相同，标准差不同。这说明什么呢？

点开文稿，我地可以睇下哩幅图：

前面说过，标准差代表波动程度，代表极端数据出现的概率。

所以讲明，从整体上看，男女智商没有高低之分，男性并不比女性更聪明；

但男性的智商波动更大——在智商超群的人中间，男性的数量要多于女性；当然，智商堪忧的人中间，男性也同样更多。

第三种情况，标准差和均值都不同，能比较专业和业余。

比如个人的射击成绩，都是在平均成绩之间上下波动，基本服从正态分布。

如果我和射击冠军许海峰比赛，结果你能想象——我的成绩肯定波动极大，有时候蒙中10环，有时候脱靶，大多数可能都是3、4环；而许海峰肯定特别稳定，基本都是10环。均值上，他更高，成绩更好；而标准差上，他更小，成绩更稳定。这就说明，许海峰比我专业得多。

其他人总是用“刻意练习”“精准”等来评价专业和业余，但在数学家看来，这些词都太模糊。

真正精确的标准只有两个——均值和标准差。专业就是均值更高，标准差更小，业余恰恰相反。

今次专登讲一个数学方面嘅话题，可能会比较无聊。

不过了解哩个概念，各位以后考虑问题嘅时候，就多左一个思维工具，你观察世界嘅眼光，将会更加精确。

参考得到APP课程《刘嘉：概率论22讲 正态分布：最简单却最实用的概率分布》，作者刘嘉。