已知y1=xe^x+e^2x,y2=xe^x+e^-x,y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程
要可以直接给老师的具体步奏!
4个回答
简单计算一下即可,答案如图所示
观察三个解的相同之处:xe^x
不同的地方,有的有e^2x,e^-x,或者两者组合且系数不一样
所以根据
二阶常系数非奇次线性微分方程
的解的特殊性
即是齐次解+特解的构成,而且齐次解包含两个任意常数,
而特解是唯一确定的,即每个解的特解部分是一样的。
所以xe^x是特解
线性无关的e^2x和e^-x是齐次解,即方程右端项为0的解
所以如果r是特征根的话,那么通解是e^rx,所以r=2,-1
一个满足的特征根方程为(r-2)(r+1)=0
即r^2-r-2=0
则齐次二阶微分方程为
y''-y'-2y=0
对于右端项只需代入特解y=xe^x
即得
又y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x
y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x
所以
y''-y'-2y=(1-2x)e^x
不同的地方,有的有e^2x,e^-x,或者两者组合且系数不一样
所以根据
二阶常系数非奇次线性微分方程
的解的特殊性
即是齐次解+特解的构成,而且齐次解包含两个任意常数,
而特解是唯一确定的,即每个解的特解部分是一样的。
所以xe^x是特解
线性无关的e^2x和e^-x是齐次解,即方程右端项为0的解
所以如果r是特征根的话,那么通解是e^rx,所以r=2,-1
一个满足的特征根方程为(r-2)(r+1)=0
即r^2-r-2=0
则齐次二阶微分方程为
y''-y'-2y=0
对于右端项只需代入特解y=xe^x
即得
又y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x
y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x
所以
y''-y'-2y=(1-2x)e^x
y''-y'-2y=(1-2x)e^x
这道题是前几年的数学竞赛题 我这还留有卷子了 貌似是09年的
相关问答
已知y1=xe^x+e^(2x),y2=xe^x+e^-x,y3=xe^x+e^2x+e^-x是某
简单计算一下即可,答案如图所示
设y1=xe^x+e^(2x),y2=xe^x+e^(2x)-e^(-x),y3=xe^x+e^(-x)是某二阶线性非齐次方程的解。求该方程的通解
也可以是y2-y3和y2-y1啊,就是说,这三个特解两两减,只要结果不线性相关,那就可以作为齐次方程解得结构,但因为是2阶方程,只需要2个,所以不需要y2-y3.
y1=xe^x+e^2x,y2=e^-x+xe^x y3=e^2x-e^-x+xe^x 是某二阶常系数非奇次线性微分方程的三个解求微分方程
首先考虑这个问题,一个二阶常系数非齐次线性微分方程的解是相应的齐次微分方程的通解加上原方程的一个特解。从而,这三个解中任意两个解的差都是原来的齐次微分方程的通解。显然可以得到e^2x和e^-x是原方程...
全文已知y1=e^3x-xe^2x;y2=e^x-xe^2x;y3=-xe^2x是某个二阶常系数线性微分方程三个解
两个实际上是一样的 先看特解部分,是-xe^(2x),两个都相同 之前的通解部分,第一个是c1*e^(3x)+(c2-c1)*e^x,第二个是c1*e^(3x)+c2*e^x 之所以看起来好像不一样,...
全文已知特解y1=e^x,y2=xe^x,求二阶常系数齐次微分方程
根据特解的形式可知,-1是特征方程的二重根,1是特征方程的根,所以特征方程是(r+1)^2(r-1)=0,即r^3+r^2-r-1=0,所以特征方程是y'''+y''-y'-y=0。
验证y1=e^(x²)及y2=xe^(x²)都是微分方程y''-4xy'+(4x²-2)y=0的解
(1) y=e^x²时,有 y′=e^x²·(x²)′=2xe^x², y′销渗′=2e^x²+2x·2xe^x² =2(1+2x²)e^x² ∴y"-4xy′+(4x²-2)y =2(1+2x...
全文验证3个函数y1=e^x,y2=e^x-1,y3=e^-x都是微分方程y''-y=0的解?
方法如下, 请作参考, 祝学习愉快:
求不定积分e^2x/1+e^x
原式=∫e^x /(1+e^x) d(e^x) =∫[1- 1/(1+e^x)] d(e^x) =e^x - ln(1+e^x)+C
求 (e^x)/(1+e^2x)dx的积分
此题无解,求定积分要范围的吧,如果要求的话就把数据带入e^2+(1/3)e^3x来求
(e^2x-1)/x当x趋向与0时的极限如何求当x趋与0时(e^2x-1)/x的极
等价代换e^2x-1~2x,x→0,结果为2
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