是不是所有函数都能泰勒展开？有什么条件么？

无穷级数的内容里面会给出定理证明

有个很简单的方法，你把X趋向的值带到展开式的后几项去，如果他们等于零，则说明这个数可以用泰勒展开，反之不行。这就是余项为零。

不是的。函数能泰勒展开的必要条件是在展开点附近任意阶可导，充分条件是泰勒公式的余项能趋于零。

一个函数n阶可导,则这个函数就可以用泰勒公式n阶展开
即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)²/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0x
f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的n阶导数.0x表示比(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小
用拉格朗日型余项表示则0x=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!
而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例
泰勒公式可以很容易的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数,也可由已知的函数的导数值推出原函数.多用于求极限问题
比如求lim
(e＾x-x-1)/x²在x趋近于0时的极限
f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)²/2!+0x
=1+x+x²/2;
那么lim
(e＾x-x-1)/x²=lim
(1+x+x²/2-x-1)/x²=1/2答案补充
用导数定义去理解
f’(x)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x->x0
那么就有当x->x0时lim
f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)
lim
f(x)=f(x0)+f’(x)(x-x0)
lim
f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高阶无穷小，一般用于证明题