柯西不等式高考考吗
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式。
1、二维形式:
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件:ad=bc
2、三角形式:
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
等号成立条件:ad=bc
3、向量形式:
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
4、一般形式:
(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2
等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。
∵ (1+x²)/(1+x²)+(1+y²)/(1+y²)+(1+z²)/(1+z²)=3
∴下式-上式,得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)=1 (b)
这里用a,b开始使用柯西不等式
a*b
=[x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)]*[1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)]≥[x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²)]²
即x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) ≤√(2×1)=√2
x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值=√2
很高兴为您解答,祝你学习进步!
有不明白的可以追问!如果您认可我的回答,请选为满意答案,并点击好评,谢谢!
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式在高中数学提升中非常重要,是高中数学研究内容之一。
然后可以推到(a1方+a2方+...+an方)(b1方+b2方+...+bn方)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)方
高中阶段只需要掌握二维形式的柯西不等式与柯西不等式向量形式
二维形式的柯西不等式公式:(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc (a/b=c/d)
柯西不等式向量形式:|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
楼主是否会联想到其他形式呢?由类比推理思想可得:((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二维形式的证明
(a+b)(c+d) (a,b,c,d∈R)
=a·c +b·d+a·d+b·c
=a·c +2abcd+b·d+a·d-2abcd+b·c
=(ac+bd)+(ad-bc)
≥(ac+bd),等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
【亲,希望对你有帮助~~】
柯西不等式一般式为:
等号成立条件为:
一般形式推广形式为:
此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是:在m×n矩阵中,各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
其二维形式为:
等号成立条件:
1、二维形式:(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
2、三角形式:√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
3、向量形式:|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)
4、一般形式:(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2
不等式的特殊性质有以下三种:
①不等式性质1:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
②不等式性质2:不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
③不等式性质3:不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向变。总结:当两个正数的积为定值时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定值时,它们的积有最大值。
1、二维形式:
(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
等号成立条件:ad=bc
2、三角形式:
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
等号成立条件:ad=bc
3、向量形式:
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
4、一般形式:
(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2
等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。
1.柯西不等式的特点:左边是平方和的积,简记为方和积,右边是乘积和的平方。
2.柯西不等式的直接应用。
例:已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。
分析:
方法一,大家看到该题后的直接想法可能是换元,把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题,再借助于二次函数的思想可以解决。
方法二,由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。
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