高中数学柯西不等式

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x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)=2 （a）
∵ (1+x²)/(1+x²)+(1+y²)/(1+y²)+(1+z²)/(1+z²)=3
∴下式-上式，得
1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)=1 （b）
这里用a，b开始使用柯西不等式
a*b
=[x²/(1+x²)+y²/(1+y²)+z²/(1+z²)]*[1/(1+x²)+1/(1+y²)+1/(1+z²)]≥[x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²)]²
即x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) ≤√（2×1）=√2

x/(1+x²)+y/(1+y²) +z/(1+z²) 的最大值=√2

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最简单的柯西不等式就是（a方+b方）（c方+d方）≥（ac+bd）方

然后可以推到（a1方+a2方+...+an方）（b1方+b2方+...+bn方）≥（a1b1+a2b2+...+anbn）方

你好朋友！很高心为你解答！
高中阶段只需要掌握二维形式的柯西不等式与柯西不等式向量形式
二维形式的柯西不等式公式：(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)

柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
　　等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

楼主是否会联想到其他形式呢？由类比推理思想可得：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2
二维形式的证明
　　(a+b)(c+d)　(a,b,c,d∈R)
　　=a·c +b·d+a·d+b·c
　　=a·c +2abcd+b·d+a·d－2abcd+b·c
　　=(ac+bd)+(ad－bc)
　　≥(ac+bd)，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

【亲，希望对你有帮助~~】

二维形式的证明
　　　(a^2+b^2)(c^2+d^2)　（a,b,c,d∈R)
　　＝a^2·c^2
＋b^2·d^2＋a^2·d^2＋b^2·c^2
　　＝a^2·c^2
＋2abcd＋b^2·d^2＋a^2·d^2－2abcd＋b^2·c^2
　　＝(ac＋bd)^2＋(ad－bc)^2
　　≥(ac＋bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。
　　
一般形式的证明
　　
求证：
(∑ai^2)(∑bi^2)
≥
(∑ai·bi)^2
　　
证明：
　　当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
　　令A=∑ai^2　B=∑ai·bi　C=∑bi^2
　　当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A＞0
　　构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，展开得：
　　f(x)＝∑(ai^2·x^2＋2ai·bi·x＋bi^2)＝∑
(ai·x＋bi)^2≥0
　　故f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，
　　移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。
　　
向量形式的证明
　　
令m
＝(a1,
a2,
…,
an)，
n
＝(b1,
b2,
…,
bn)
　　
m
·
n
＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝|
m
||
n
|cos<
m,
n
>＝√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2)
×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
×cos<
m
,
n
>
　　∵cos<
m
,
n
>≤1
　　∴a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2)
×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)
　　注：“√”表示平方根。
　　
注：以上仅是柯西不等式
部分形式的证明。
[编辑本段]【柯西不等式的应用】　　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
　　
巧拆常数证不等式
　　
例：设a、b、c为正数且互不相等。
　　求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
∵a
、b
、c
均为正数
　　∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
　　而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
　　又9=(1+1+1)^2
　　∴只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)^2=9
　　又a、b
、c互不相等，故等号成立条件无法满足
　　∴原不等式成立
　　
求某些函数最值
　　
例：求函数y=3√(x－5)＋4√(9－x)的最大值。
　　注：“√”表示平方根。
　　
　　函数的定义域为[5,
9]，y＞0
　　y=3√(x－5)＋4√(9－x)
　　≤√(3^2＋4^2)×√{
[√(x－5)]
^2
＋
[√(9－x)]
^2
}
　　＝5×2＝10
　　函数在且仅在4√(x－5)＝3√(9－x)，即x＝6.44时取到。
　　
以上只是柯西不等式的部分示例。更多示例请参考有关文献。

柯西不等式：对于两组正数a1，a2，…+an和b1，b2，…，bn ，有
(a1b1+a2b2+…+anbn)²≤(a1²+a2²+…+an²)(b1²+b2²+…+bn²)
但你这个题用的不是柯西不等式，而是均值不等式：
(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
其中，(abc)^(1/3)表示abc的开三次方。
这个基本不等式可以用来求最值。当积abc是定值时，和a+b+c有最小值；当和a+b+c是定值时，
积abc有最大值。当且仅当a=b=c时，取到最值。