费马在数论领域的发现很多。其中一个发现，涉及所谓的“亲和数”。亲和数是一对数，其中一个数是另一个数的除了它本身之外所有因数之和。毕达哥拉斯学派发现了第一对亲和数：220和284。由于这两个数字之间这种奇妙的关系，220和284也被认为是友谊的象征。中世纪曾经有过一种护身符，上面就刻着220和284这一对数。据说，佩戴这种护身符使情人之间的爱情更加坚贞。
上千年过去，直到1636年，费马发现了第二对亲和数：17296和18416，由此掀起了寻找亲和数的热潮。后来，笛卡尔发现了第3对，再后来，数学大神欧拉一口气列举了62对亲和数。发现了一对新的亲和数，让费马有了点名气，但他的声望真正被承认则是由于另一系列的数学挑战。
塔塔里亚和卡尔达诺之间的承诺与背叛，让其他数学家引以为戒，更加小心地守护自己的智慧秘密。从科学发展的角度来说，这种通行的“自我保护”法流弊匪浅。17世纪的欧洲，没有科学刊物，没有国际科学会议，甚至没有任何科学研究的机构，每个有才华的人都是单打独斗。就在此时，欧洲科学界出现了一位独特的人物，他就是马林·梅森神父。梅森神父决定改变当时的保守风气，鼓励数学家们交流思想，互相启发与促进。梅森神父很有个人魅力，他交游广泛、热情诚挚，学识渊博、才华横溢，在科学界享有很高的地位，很多科学家都愿意把成果寄给他，由他转告给更多的人。费马，也在这个圈子里。费马的分享有一个特点：只分享数学难题的答案，不分享其证明过程。
虽然梅森神父一再鼓励，费马仍旧不愿意公布其证明过程。而且，他有一种恶作剧的癖好，这种癖好加上他的保密风格，使他与别的数学家的通信有时看上去更像是一种挑逗。比如，他写信给对方，把自己的最新定理告诉对方，对相应的证明过程却只字不提。于是，找出这个证明的过程几乎就成了他向对方提出的某种挑战。
在《算术》第2卷，丢番图研究了勾股定理和勾股数，并且提出了勾股数是无限多的这一事实，费马对这一点表现出了极大的兴趣。他开始摆弄勾股方程，试图能找出古希腊人不曾发现的秘密。有一天他忽然灵光一闪，提出了举世闻名的费马大猜想：不可能将1个立方数写成2个立方数之和；或者将1个4次幂写成2个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将1个高于2次的幂写成2个同样次幂的和。在结论下面，费马加了一条说明：“对此命题，我有十分美妙的证明，此处空间太小，写不下。”
这就是费马最让人恼火的地方。他暗示人们，他愉快地发现了“十分美妙”的证明，却不愿费神为人们提供论证的细节，任由别人抓狂。
整个数学界经过了300多年的奋斗，直到1995年，英国数学家怀尔斯终于证明：这个结论是正确的，破解了这个世界第一难的谜语，将“费马大猜想”变成了“费马大定理”。
费马大猜想升级为费马大定理，整个数学界都兴奋异常。也有很多人冒出一种难以名状的失落感：我们丧失了一个最迷人的谜。实际上，解谜者们无需失望，世界上还有大量的难题有待解决。在所有可能接替费马大定理，成为数学上最重要的谜语的问题中，最佳候选者是开普勒的球填装问题，也就是研究如何在空间中放置圆球，使得圆球的排列效率达到最高，也就是，要使球与球之间的孔隙达到最小。
开普勒不但研究过啤酒桶、葡萄酒桶，还研究过为什么所有的雪花都有独特六边形的结构呢。兴趣是研究的最大动力。
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