历史上微分、积分出现进程与教材顺序恰好相反。积分思想早在阿基米德时代就已萌芽，而微分的思想却直到17世纪才出现。当时数学家们讨论得最为热烈的问题就是运动问题、极值问题，特别是切线问题。
费马和笛卡尔就分别给出了如何求切线的方法，笛卡尔的方法叫圆法，费马的方法叫虚拟等式法。笛卡尔心里不爽，就给费马出了一道题。费马有点傻了眼，因为他那种方法应对这样的函数不太给力。这个函数其实是笛卡尔在研究花瓣和叶形特征时所列出的方程式，我们称之为笛卡尔叶形线。数学家还为它取了一个诗意的名字– 茉莉花瓣曲线。
还好，世间另有高人。这位高人不是一般的高，他是牛顿的老师。牛顿的老师巴罗，是剑桥大学第一任卢卡斯数学教授。这个人不但脑子厉害，个性也很特别。巴罗给出了更一般、更有利的做切线的方法，应对了笛卡尔的挑战。巴罗的方法中，非常值得注意的方面就在于他用到的这个三角形MNR，这个三角形在微积分中非常著名，人们称之为“特征三角形”，或“微分三角形”。顺便提一句，帕斯卡也曾经用过这个三角形。
1669年，年仅39岁的巴罗主动推荐26岁的牛顿接替他作为卢卡斯数学教授，他认为牛顿比自己更适合这个教职。他自己伺候就转向了神学研究，担任皇家牧师去了。“巴罗让贤”一时传为佳话。不过，牛顿也没有让老师失望，作出了很多伟大的贡献。牛顿的数学成就相当多，创立微积分是其中最伟大的，没有之一。
这里牵涉到了无穷小的概念。在微积分创立之初，无论是牛顿，还是莱布尼茨，他们的工作都还不完善，引来了很多人的批评。要论谁抨击微积分最有力，那肯定是爱尔兰主教贝克莱了。1734年，贝克莱出版了一本针对微积分基础的小册子，全书只有104页，却对微积分从基本概念、基本方法和全部内容提出了全面的批评。贝克莱抨击微积分时，微积分理论在实践与数学中已经取得了较大的成功，大部分数学家已经表达过他们对微积分理论的信赖，他们相信，建立在无穷小之上的微积分理论是正确的。因此贝克莱所阐述的问题被认为是悖论。但是，由于这一悖论的提出有效地揭示出了微积分基础中包含的逻辑矛盾，因而在当时的数学界引起了一定的混乱，一场新的风波由此掀起，导致了数学史上的第二次危机。
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