群论的群的例子

全体整数的加法构成一个群：
最常见的群之一是整数集，它由以下数组成：
..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...
下列整数加法的性质，可以作为抽象的群公理的模型。 对于任何两个整数a和b，它们的和a+b也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。这个性质叫做在加法下封闭。 对于任何整数a,b和c，(a+b) +c=a+（b+c）。用话语来表达，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。这个性质叫做结合律。 如果a是任何整数，那么0 +a=a+ 0 =a。零叫做加法的单位元，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。 对于任何整数a，存在另一个整数b使得a+b=b+a= 0。整数b叫做整数a的逆元，记为−a。 全体非零实数的乘法构成一个群
对三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子），它由此被标记为S3