如何证明2元函数在某点处极限存在？

一般来说没法证明
因为要二重极限存在，必须在一个领域范围内从所有路径趋向这个点的值都存在且相等，因为路径无穷多，所以通常不会要证明这个东西。除非是极其特殊的函数和定义域。一般都是证不存在。

个人认为：因为y和x趋向某个点时候路径有无数多，可以设y=kx，然后证明趋向某个点时极限与k无关就可以了。

要证二元函数的极限存在，通常都是由放缩法出发，并通过极限存在的定义得到证明结果。比如一个简单的例子：z=(xy)^2/(x^2+y^2)
要证明当x,y->0是极限存在是由
|(xy)^2/(x^2+y^2)-0|<=|(xy)^2/(2xy)|=0.5|xy|=0，从而极限存在。
类似这种方法通常需要在不等式放缩方面有一定的熟练度。
还有另一种方法就是如果二元函数在某点可微那么也说明在该点连续。
验证是否可微就是另一套程序了。
这里多说一句：2楼所说的是二元函数在某点弱可微的定义，弱可微是得不到极限存在的。我可以通过直线接近某点，也可以通过曲线接近该点，光是与k无关事没有用的。

函数的左右极限存在且相等是函数极限存在的充要条件啊,正推反推都是对的.实心处只有左极限或者右极限,但是有极限要求在有极限那一点要连续才能说有极限,不相等可以分别说有左极限或者右极限,但就是不能说那一点有极限.