数学问题:极限存在,那么函数必然有界吗?还是有界函数必然极限存在?谢谢。
3个回答
有极限,必有界限。有界限,不一定有极限
极限存在,必然有界。但有界不一定极限存在,如lim(x→0)sin1/x,它的极限不存在,但它有界sin1/x的绝对值小于等于1。
函数的有界性定义:
设函数f(x)的定义域为D,数集X∈D。如果存在数K1使得 f(x)≤K1对任意x∈X都成立则称函数f(x)在X上有上界。此外,如果存在数字K2使得 f(x)≥K2对任意x∈X都成立,则称函数f(x)在X上有下界,而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。 如果存在正数M,使得 |f(x)|≤M 对任一x∈X都成立,则称函数在X上有界。如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界;这也就是说,无论对于任何正数M,总存在x1属于X,使得|f(x1)|>M,那么函数f(x)在X上无界。
此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
举例:
一般来说,连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1,2]上有最小值7,最大值8,所以说它的函数值在7和8之间变化,是有界的,所以具有有界性。但正切函数在有意义区间,比如(-π/2,π/2)内则无界。
任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数:当x是有理数时,函数的值是0,而当x是无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
由此可见:极限存在,那么函数必然有界。有界函数未必有极限存在。
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此外,函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
举例:
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任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数:当x是有理数时,函数的值是0,而当x是无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
由此可见:极限存在,那么函数必然有界。有界函数未必有极限存在。
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全文函数在某个点的左极限不等于右极限,那么该函数在这个点的极限存不存在?
不存在,极限存在必须是连续函数。你想一想也就知道了,极限肯定和左极限、右极限相等。左右极限不相等说明极限不存在。
极限存在的条件是什么? 什么时候极限不存在? 什么时候函数极限不存在?
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全文为什么无界函数一定不存在极限?
当x趋向于无穷大的时候,函数f(x)的极限就是0了,所以是有极限的
为什么无界函数一定不存在极限
无界函数就是没有极限的
怎样判断 函数极限存不存在?
答:极限是否存在,主要看函数的间断点,而间断点往往都在函数定义域的限制点或者函数形式的变化点。因为连续函数都有极限,所以,判断函数是否连续,就选择函数的分段连续的端点,检验左、右极限是否相等;凡是左、...
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全文如何证明函数极限存在?
对于任意一点可取两个子序列(一个是由有理数组成,一个是由无理数组成),可知极限不相等,因此利用归结原则知极限不存在
如果一个函数为一定值,那么它存在极限吗
极限存在定义 左极限等于有极限 即要左右极限都存在且相等
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