三角函数导数
一个函数的一个点可导,为什么不能函数可导吗
函数在一点可导,只表示在该点连续,并不能保证整个函数都连续
什么样的函数成为可导函数,和不可导函数有什么区别
可导函数就是在定义域内,每个值都有导数.
可导函数的条件是在定义域内,必须是连续的.可导函数都是连续的,但是连续函数不一定是可导函数.
例如,y=|x|,在x=0上不可导.即使这个函数是连续的,但是lim(x趋向0+)y'=1,lim(x趋向0-)y'=-1,两个值不相等,所以不是可导函数.
也就是说在每一个点上导数的左右极限都相等的函数是可导函数,反之不是
可导函数的条件是在定义域内,必须是连续的.可导函数都是连续的,但是连续函数不一定是可导函数.
例如,y=|x|,在x=0上不可导.即使这个函数是连续的,但是lim(x趋向0+)y'=1,lim(x趋向0-)y'=-1,两个值不相等,所以不是可导函数.
也就是说在每一个点上导数的左右极限都相等的函数是可导函数,反之不是
有没有函数,它可导,但它的导函数处处不连续?
我觉得是没有这种函数的。但是证明只用微分学的知识恐怕是不行的。
建议翻一番实变函数的书,那上面可能有关于导函数间断点集的势的介绍或者构造,利用实变函数的结论应该能证明导数的间断点集不会是整个定义域,因此导数必然有连续点。
建议翻一番实变函数的书,那上面可能有关于导函数间断点集的势的介绍或者构造,利用实变函数的结论应该能证明导数的间断点集不会是整个定义域,因此导数必然有连续点。
高中常用函数的导函数。
函数导数公式
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数)
y'=0
2.y=x^n
y'=nx^(n-1)
3.y=a^x
y'=a^xlna
y=e^x
y'=e^x
4.y=logax
y'=logae/x
y=lnx
y'=1/x
5.y=sinx
y'=cosx
6.y=cosx
y'=-sinx
7.y=tanx
y'=1/cos^2x
8.y=cotx
y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y'=1/1+x^2
12.y=arccotx
y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]&8226;g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到
y=e^x
y'=e^x和y=lnx
y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道,当a=e时有y=e^x
y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道,当a=e时有y=lnx
y'=1/x。
这时可以进行y=x^n
y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx&8226;(nlnx)'=x^n&8226;n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)&8226;lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx
y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数)
y'=0
2.y=x^n
y'=nx^(n-1)
3.y=a^x
y'=a^xlna
y=e^x
y'=e^x
4.y=logax
y'=logae/x
y=lnx
y'=1/x
5.y=sinx
y'=cosx
6.y=cosx
y'=-sinx
7.y=tanx
y'=1/cos^2x
8.y=cotx
y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx
y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
y'=1/1+x^2
12.y=arccotx
y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]&8226;g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'
证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到
y=e^x
y'=e^x和y=lnx
y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道,当a=e时有y=e^x
y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道,当a=e时有y=lnx
y'=1/x。
这时可以进行y=x^n
y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx&8226;(nlnx)'=x^n&8226;n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)&8226;lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx
y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
函数连续不可导
函数连续不一定可导。一个很好的例子:y = |x|,其在 x = 0 点连续,但不可导。
可导函数的导函数不一定连续?为什么?不是有导数极限定理吗?
导函数可能有有振荡间断点,这个不连续的有反例。
导数是一个函数的还是一个点的?在一个函数图像上,每一点都有不同的导数么?那我直接用函数式导出来的是
导数这个词可以说是有两个含义。
1、某个可导函数在某一个具体点的切线的斜率。这个斜率值就是原函数在该点的导数,也可以成为导数值。
2、某个可导函数的导函数,也就是说导函数在任何点的值,都是原函数在相应点的导数。在不引起误会的情况下,导函数也可以简称为导数。
除了直线以外的其他函数,不同点的导数值一般是不一样的。
只有直线,才是各个点的导数值都一样。即直线函数的导函数是常数函数。
1、某个可导函数在某一个具体点的切线的斜率。这个斜率值就是原函数在该点的导数,也可以成为导数值。
2、某个可导函数的导函数,也就是说导函数在任何点的值,都是原函数在相应点的导数。在不引起误会的情况下,导函数也可以简称为导数。
除了直线以外的其他函数,不同点的导数值一般是不一样的。
只有直线,才是各个点的导数值都一样。即直线函数的导函数是常数函数。
图像只有一个点的函数可导吗?
函数等于常数C,因此导数等于0,
如何判断一个函数在某点可导不可导?
函数在某点可导的充分必要条件:某点的左导数与右导数存在且相等。
判断不可导:
1、证明左导数不等于右导数
2、证明左导数或者右导数不存在(无穷大或者不可取值)
例如:
f(x)=x的绝对值,但当x<0时,f(x)的导数等于-1,当x>0是,f(x)的导数等于1。
不相等,所以在x=0处不可导。
可导函数、不可导函数和物理、几何、代数的关系:
导数与物理、几何和代数关系密切:在几何中可以求正切;在代数中可以求瞬时变化率;在物理中可以求速度和加速度。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念可以用导数来表示。
例如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(对于线性运动,位移的一阶导数是相对于时间的瞬时速度,二阶导数是加速度),曲线在一点的斜率,以及经济学中的边际和弹性。
给一个可导,但导函数不连续的例子!
楼上说的那个有问题,f(x)=Inx,它的定义域是x大于零,它的导函数在定义域上是可导的,且是连续的.
可导但不连续的函数:f(x)=|x|,x=0时没有导数值,这个如果你不会导的话就画图看函数,导函数的含义不就是斜率变化的函数么,
可导但不连续的函数:f(x)=|x|,x=0时没有导数值,这个如果你不会导的话就画图看函数,导函数的含义不就是斜率变化的函数么,
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