二次函数最值
1、利用函数的单调性,首先明确函数的定义域和单调性, 再求最值。
2、如果函数在闭合间隔上是连续的,则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外,全局最大值(或最小值)必须是域内部的局部最大值(或最小值),或者必须位于域的边界上。
因此,找到全局最大值(或最小值)的方法是查看内部的所有局部最大值(或最小值),并且还查看边界上的点的最大值(或最小值),并且取最大值或最小)一个。
3、费马定理可以发现局部极值的微分函数,表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试,二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值,给出足够的可区分性。
4、对于分段定义的任何功能,通过分别查找每个零件的最大值(或最小值),然后查看哪一个是最大(或最小),找到最大值(或最小值)。
扩展资料:
求最大值最小值的例子:
(1)函数x^2在x = 0时具有唯一的全局最小值。
(2)函数x^3没有全局最小值或最大值。虽然x = 0时的一阶导数3x^2为0,但这是一个拐点。
(3)函数x^-x在x = 1 / e处的正实数具有唯一的全局最大值。
(4)函数x^3/3-x具有一阶导数x^2-1和二阶导数2x,将一阶导数设置为0并求解x给出在-1和+1的平稳点。从二阶导数的符号,我们可以看到-1是局部最大值,+1是局部最小值。请注意,此函数没有全局最大值或最小值。
在所求数据的单元格那一格写上“=”调出函数Fx,填入函数=max(起始单元格:最后单元格),点击确定。求最小值,将max
如果表示f0=0,则说明f0这个函数是0这个常数函数山拿
极限值是指,自变量趋近某特定值时,因变量趋近的值.
两者是有区别的,
趋近的值不一定是函数值,甚至在此点函数是没有定义.
例如:
f(x)=sin(x),
人为挖去一个点(0,0),构成一个新函数g(x)
g(x)在x趋近0时的极限值是0,但是是没有定义的,
再进一步,
定义g(0)=8(可以使任意非零实数),
则函数g(x)在0处的极限值和函数值不等.
不知道我说明白了没,
第一步,确定函数的定义域;
第二步,求出使f '(x)=0的点,即驻点,再确定哪些驻点是极值点,哪些不是极值点;然后求出极值点的函数值;
第三步,确定有没有f '(x)不存在的点?如果有,需要判断这些点是否为极值点,并求出这些点的函数值;
第四步,求出定义区间端点的函数值;
第五步,从以上求出的所有函数值中选出最大的,就是最大值,选出最小的就是最小值。
首先,若 [公式] 的定义域存在端点 [公式] ,则上述定义使得 [公式] 永远不可能在 [公式] 点处取到极值。这样,我们考虑函数 [公式] 在整个定义域上的最值时,就必须说 [公式] 的最值可能在极值点或端点处取得;因此,一些人认为可以将“对于所有满足 [公式] 的 [公式] ”替换为“对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ”,这样,对于 [公式] 定义域的某个端点 [公式] ,只要 [公式] 是 [公式] 在 [公式] 的某个邻域上“ [公式] 有定义的点”中的最小值,就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值,比如考虑区间 [公式] 上的函数 [公式] ,依照这个定义就可以说 [公式] 在 [公式] 处取到极小值。这么说的好处在于函数的最值永远是极值,但是缺陷在于不能直接说可微函数的极值总在驻点处取得了——现在只有在定义域是 [公式] 上的开集时,这个定理才成立。
其次,原始定义不令人满意的地方还有它将常数函数每一点都当作极值处理了。为了避免这样的处理,一些人建议将极值的定义条件改为在去心邻域上满足严格序关系,也就是说将“ [公式] ”这部分替换为“若 [公式] ,则 [公式] ”,也就是题主所说的不取等号的定义。当然,这么改也是有争议的,因为比如考虑常数函数,一般我们还是接受常数函数在每一点都取到最值的,因此如果接受上述更为严格的极值定义,就会出现在函数在既不是极值也不是端点的点取到最值的特殊情况,而那些处理最值和极值的定理就会出现一些额外的特例。同时,还会有其他更为特殊的函数,比如 [公式] 这样在 [公式] 一侧取值为常数而另一侧不是的,那么它是否在 [公式] 处取到极值依然是一个值得商榷的问题。
这样来说,基于对于问题1和问题2的不同选择,能够写出一共四种不同的极限定义,这四种中很难说哪种是绝对的主流,因而在教材中看到哪种都不应该奇怪。
依我个人的喜好,其实最倾向于最为宽松的定义方式,也就是说在问题1中选择修改,在问题2中选择不修改,也就是函数 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 使得对于所有满足 [公式] 且 [公式] 的 [公式] ,有 [公式] 。这样选择的原因在于考虑了对于更为普遍的情况,即对从任意拓扑空间到任意全序集的函数定义极值的情况。考虑函数 [公式] ,其中 [公式] 是拓扑空间, [公式] 是全序集,那么我们可以定义 [公式] 在 [公式] 处取到极小值当且仅当存在 [公式] 的开邻域 [公式] 满足对于所有 [公式] ,有 [公式] 。这里无法区分 [公式] 在与不在端点的情况,因为拓扑空间本身就无法区分这一点:考虑区间 [公式] 作为 [公式] 的子拓扑空间,则 [公式] 在该拓扑空间中同样有形如 [公式] 的开邻域,尽管 [公式] 在母空间总并非开集,但单纯对于子空间 [公式] 来说它也是和 [公式] 一样的开区间。
另外,拒绝问题2中的修改的原因在于,若应用在更一般的空间中,比如考虑从 [公式] 到 [公式] 的集合,那么严格序关系的要求就显得过于苛刻了。比如说,考虑多元函数 [公式] ,它在 [公式] 轴正方向上取常数 [公式] ,但在其他方向的截面上 [公式] 都是函数的极小值点。如果使用去心邻域上的严格序关系定义,因为 [公式] 任何一个去心邻域一定包括 [公式] 轴正方向的一段,则点 [公式] 无法被称为 [公式] 的一个极小值点。这样仅仅因为 [公式] 轴正方向的缘故将 [公式] 从定义中排除,难免显得有点过分咬文嚼字。
当然,若是单纯考虑实函数的情景,则两个问题上的各自两种选择都算是各有好坏,所以难免看到选择其中任意一种定义的教材/文本。在这样的情况中,只要选择依照给定的定义为准,如上文对定义之间区别所说的那样对自己平时认知中的极值额外排除/包括一些特例,就可以正常地使用文本中的定义去理解后续的内容的。
当函数在一点间断的时候,函数在这点的极限值不等于函数值.所以x→x0limf(x)≠f(x0).
特别注意:1.函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义.
2.一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等.只有区间端点,是单侧极限.
对于连续函数定义域内的点来说,极限值就是它的函数值;反之,函数值就是它的极限值。
函数在一点有极限与这点是否有定义无关.但是函数在这点的邻域一定要有定义;一般地,函数在一点有极限,是指函数在这点存在双侧极限,且相等,只有区间端点,是单侧极限。
一般来说,极限值与函数值没有直接关系。在一点处的极限值是否存在于在那一点的函数值是否有定义是没有关系的。但若函数在那一点是连续的话,则在那一点处的极限值与他的函数值是相等的 。
一个函数在某点的极限和它在此点的函数值无关,而与在它附近的函数值有关,只要它附近的点距离此点距离趋于0时,函数值趋于一个常数就有极限函数在此点连续时极限值与函数值恰好相等。
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